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４点を通る正方形の作図 †

元ネタはこちら → https://www.youtube.com/shorts/wq6qkH5vQF8 （ショート動画です）

「４点A,B,C,Dを通る正方形」を，次のように定義します。

任意の４点A,B,C,Dに対して、最初の２円C1，C2の取り方が、
　[あ] 線分AB、線分CDを直径とする円
　[い] 線分AC、線分BDを直径とする円
　[う] 線分AD、線分BCを直径とする円
の３通りあり、その各々に対して
・C1のどちらの半円に交点を取るか（２通り）
・C2のどちらの半円に交点を取るか（２通り）
があるので、この解法だけで、計12通りの正方形が作図できる。

【課題０】
上で「12通りの正方形が作図できる」と述べたが，実際には，それらには重複がある。
たぶん2通りずつがペアになり，計6種類の正方形ができると思われるが，未検証。

【課題１】
上記の方法で作図した12通りの正方形の大半は、
4点A,B,C,Dのいくつかが正方形の辺の【延長】にある。
「4点A,B,C,Dすべてが正方形の（辺の延長上ではなく）辺上に来る正方形が必ず存在する」と言えるか？
→【解決】計6種類の正方形すべてが（辺上ではなく）辺の延長上にくる正方形である例を作ることができたため。

【課題２】
条件を満たす正方形は、上記の12通りしかないのか？
それとも、もっとあるのか？
（無限に存在するような気がしなくもない。）
→【解決】4点A,B,C,Dが正方形の頂点になる位置にあるとき，条件を満たす正方形は無限に存在する。

【課題３】
そもそも、なぜこの方法で条件を満たす正方形が描けるのか、証明せねば……。
（俺はまだ、なぜこの方法で条件を満たす正方形が描けるのか、ぜんぜん理解していません……。）