参拾萬.net/メモ/４点を通る正方形のバックアップ(No.2)

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メモ/４点を通る正方形へ行く。
- 1 (2024-12-30 (月) 19:16:53)
- 2 (2024-12-30 (月) 22:02:43)
- 3 (2024-12-31 (火) 02:18:01)
- 4 (2025-01-01 (水) 03:42:10)

「４点を通る正方形」の定義 †

「４点A,B,C,Dを通る正方形」を，次のように定義する。

(あ) ４点A,B,C,Dは正方形の「辺上」になくても，「辺の延長上」にあればよい。
(い) 正方形のすべての辺の「辺上」または「辺の延長上」に，４点A,B,C,Dのいずれかが１つだけある。

「４点を通る正方形」の作図方法 †

→ https://www.youtube.com/shorts/wq6qkH5vQF8 （ショート動画です）

与えられた４点A,B,C,Dに対して，

「線分ABを直径とする円E」と「線分ABの垂直二等分線」の交点（２つあるうちの一方）をFとする。
同様に，「線分CDを直径とする円G」と「線分CDの垂直二等分線」の交点（２つあるうちの一方）をHとする。
直線FHと円C1との交点をPとする。
同様に，直線FHと円C2との交点をQとする。
直線PAと直線QCの交点をRとする。
同様に，直線PBと直線QDの交点をSとする。
四角形PRQSが求める正方形である。

証明 †

「４点を通る正方形」の一意性および存在の確認作業 †

上述の作図方法において，任意の４点A,B,C,Dに対して，最初の２円C1，C2の取り方が
　[1] 線分AB、線分CDを直径とする円
　[2] 線分AC、線分BDを直径とする円
　[3] 線分AD、線分BCを直径とする円
の３通りある。（どちらがC1でどちらがC2かは問わない。）

そして，その各々に対して
・C1のどちらの半円に交点を取るか（２通り）
・C2のどちらの半円に交点を取るか（２通り）
がある。

したがって，この作図方法だけで，実に計12通りの正方形が作図できる。
（実際には，それらには重複がある。2通りずつがペアになり，計6種類の正方形ができる。）

【疑問１】※解決済み †

上記の方法で作図した12通りの正方形の大半は、4点A,B,C,Dのいくつかが正方形の辺の【延長】にある。
「4点A,B,C,Dすべてが正方形の（辺の延長上ではなく）辺上に来る正方形が必ず存在する」と言えるか？

→ 【否定的に解決】計6種類の正方形すべてが（辺上ではなく）辺の延長上にくる正方形である反例を発見。
（例えば，4点A,B,C,Dが一直線上に並んでいる場合。下図参照。）

【疑問２】※解決済み †

「４点A,B,C,Dを通る正方形」は、上記の作図方法で作図できる６種類しかないのか？

→ 【否定的に解決】条件を満たす正方形が無数に存在する反例を発見。
（例えば，4点A,B,C,Dが正方形の頂点になる位置にある場合。下図参照。）

【新たな疑問】（疑問１＆２の続き） †

4点A,B,C,Dの位置に関する次の条件を求めよ。
[１] 4点A,B,C,Dすべてが正方形の（辺の延長上ではなく）辺上に来る正方形が存在するための条件
[２] 条件を満たす正方形が上記の作図方法で作図できる６種類しか存在しないための条件，および無数に存在するための条件