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「4点A,B,C,Dを通る正方形」の定義 †

「4点A,B,C,Dを通る正方形」を，次のように定義する。

(あ) 正方形の「辺上」または「辺の延長上」に4点A,B,C,Dがある。
(い) 正方形のすべての辺の「辺上」または「辺の延長上」に，4点A,B,C,Dのいずれかが１つだけある。
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「4点A,B,C,Dを通る正方形」の作図方法 †

（ショート動画 https://www.youtube.com/shorts/wq6qkH5vQF8 の方法）

メモ/４点を通る正方形 メモ/４点を通る正方形

与えられた4点A,B,C,Dに対して，

  1. 「線分ABを直径とする円C1（中心をEとする）」と「直径ABの垂直二等分線」の交点（２つあるうちの一方）をFとする。
    同様に，「線分CDを直径とする円C2（中心をGとする）」と「直径CDの垂直二等分線」の交点（２つあるうちの一方）をHとする。
  2. 直線FHと円C1との交点をPとする。
    同様に，直線FHと円C2との交点をQとする。
  3. 直線PAと直線QCの交点をRとする。
    同様に，直線PBと直線QDの交点をSとする。
  4. 四角形PRQSが求める正方形である。
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証明 †

E,F,G,H,P,Q,R,Sは上図の通りとする。
まず，円C1において，円周角の定理より
∠APF＝∠AEF÷2＝90°÷2＝45°，∠BPF＝∠BEF÷2＝90°÷2＝45°である。
同様に，円C2において，円周角の定理より
∠CQH＝∠CGH÷2＝90°÷2＝45°，∠DQH＝∠DGH÷2＝90°÷2＝45°である。
以上より，△RPQと△SPQは共に直角二等辺三角形であり，
ゆえに四角形PRQSは正方形である。
また，この正方形が条件を満たしていること（全ての辺の辺上またはその延長上に4点A,B,C,Dのいずれかが１つだけあること）は，
作図の手順より明らかである。（証明終）

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「4点A,B,C,Dを通る正方形」は何種類あるか？ †

上述の作図方法において，任意の4点A,B,C,Dに対して，最初の２円C1，C2の取り方が
　[1] 線分AB、線分CDを直径とする円
　[2] 線分AC、線分BDを直径とする円
　[3] 線分AD、線分BCを直径とする円
の３通りある。（どちらがC1でどちらがC2かは問わない。）

そして，その各々に対して
・「円C1」と「直径の垂直二等分線」の２つの交点のうち，どちらをFとするか（２通り）
・「円C2」と「直径の垂直二等分線」の２つの交点のうち，どちらをHとするか（２通り）
がある。

したがって，この作図方法だけで，実に計12通りの作図ができる。

※実際には，この12通りの作図で得られる正方形には重複がある。同じ正方形が２個ずつあり，異なる正方形は計6種類である。
　（これは証明を要する命題だが，ここでは証明を割愛する。）

メモ/４点を通る正方形

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【疑問１】※解決済み †

上記の方法で作図した6種類の正方形の大半は、4点A,B,C,Dのいくつかが正方形の辺の【延長】にある。
「4点A,B,C,Dすべてが正方形の（辺の延長上ではなく）辺上に来る正方形が必ず存在する」と言えるか？

→ 【否定的に解決】 計6種類の正方形すべてが（辺上ではなく）辺の延長上にくる正方形である反例を発見。
（例えば，4点A,B,C,Dが一直線上に並んでいる場合。下図参照。）

メモ/４点を通る正方形

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【疑問２】※解決済み †

「4点A,B,C,Dを通る正方形」は、上記の作図方法で作図できる6種類しかないのか？

→ 【否定的に解決】 条件を満たす正方形が無数に存在する反例を発見。
（例えば，4点A,B,C,Dが正方形の頂点になる位置にある場合。下図参照。）

メモ/４点を通る正方形

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【新たな疑問】（疑問１＆２の続き） †

4点A,B,C,Dの位置に関する次の条件を求めよ。
[疑問１－ａ] 4点A,B,C,Dすべてが（辺の延長上ではなく）辺上にある正方形が存在するための条件
[疑問２－ａ] 条件を満たす正方形が上述の作図方法で得られる6種類しか存在しないための条件
[疑問２ーｂ] 条件を満たす正方形が無数に存在するための条件